Whistle Down The Wind

想好了要写一系列关于巡天的文章，自己在心里排了一下目次，后面的文章多半是介绍具体的巡天了，仔细想想，总觉得还是差了点儿什么，有什么东西是既重要又不是很常被提起的呢？就是它吧，Malmquist偏差，我想除非是学过天文观测，或者是接触过巡天数据的人，是很少了解这个术语背后的意义吧，那么它究竟有多重要呢？慢慢向后看吧。

Malmquist Bias(硬要翻译成中文的话：马姆奎斯特偏差)，听上去很诡异的一个单词，简单的说，Malmquist效应是一种巡天观测中的选择效应。Malmquist Bias也曾被叫做Malmquist Relation，最早由瑞典天文学家Gunner Malmquist(1893.2.21-1982-6.27)在1922年提出的(Malmquist 1922,Malmquist 1936)，用来描述观测数据中的统计效应，这个奇怪的名词所代表的东西究竟有多重要呢？再简单的说，十分十分重要，这种效应可以说应用于天文观测的每一个领域。记得在上星系物理课程的时候，在讲到Malmquist Bias的时候，顾老师在PPT上打出了”真实的天文观测！”，可见其重要程度了吧

“Any large gathering of observational cosmologists today will include at least one person who thinks that someone else in the room does not understand the Malmquist effect”
———-Trimble (1996, PASP 108, 1073)

考虑到可能会有不太熟悉天文的人看，我先解释下什么是选择效应吧。科学理应是客观公正的，在物理实验中我们总是希望能够控制的参数越多越好，然而，实际情况不是那么简单的，对与天文观测来说，观测过程本身往往影响着最终的数据结果。举个不恰当的例子吧，如果你想了解大学生对于网络游戏(e.g WOW)的看法，你会想到要找到一些大学生做个走访调查(就像巡天)，即确定一个样本，如何确定呢？你有很多种选择，比如，你可以在晚上八点去教学楼随机寻访一些大学生，也可以在同样的时间去学生宿舍走访一些学生，同样是学生样本，但是我相信，得到的结果肯定是不一样的(显然晚上八点留在宿舍的学生多半是在玩游戏，不信你去看看)，这就是所谓的选择效应。这样得到的数据，在科学上我们说有Bias的。

在天文上，Malmquist Bias是基于观测的一种选择效应。天文是一门很无奈的学科，为什么呢？因为我们几乎无法与研究的对象有任何的交互接触(现阶段)，这就像做一个完全不在我们控制之下的实验，我们能做的只有等在地球上，收集观测得到的数据，不幸的是，即便是观测也会有各种不随人意的地方。最基本的问题是，任何观测仪器，都有一个最低流量的限制，也就是说只有亮度大于某一个极限的天体才可能被我们所观测到。再举一个不恰当的例子，假设有个生物学家，想要了解一片森林中物种的分布，并且假设我们有这样的定义，那个物种的种群规模最大，就认为哪个物种主导这片森林(这只是举例，毫无道理的定义)。如果站在森林外观测，那么显然，树的数量最多，树是主导，但是如果走进森林，他会发现地面的灌木和草本植物的数量都要多于树，那么是不是说这些生物主导着这片森林呢？这时他拿出了一架显微镜，随便取一块森林中的土壤来制作成玻片观测，也许在小小的一块土壤中，就有成千上万的微生物存在，这时候是什么主导这篇森林呢？当然，这个例子没什么实际意义，他只是告诉我们，得到怎样的结论，和你的观测方法和条件紧密相连（本质上说，是和你的各种观测目标的尺度和分布有关的，在上面的例子中，我们观测的越仔细，涉及的尺度越小，而在天文的巡天中，面对的问题是观测的距离越远，观测样本的体积越大）。这点，对于星系的巡天观测是很重要的。

最简单的来说，Malmquist Bias告诉我们这样一个事实，在一个流量限定的巡天中(绝大多数的巡天都是流量限定的)，显而易见的，在较远的距离处，我们能观测到本身亮度很暗的天体的能力就越低(注意流量和本征亮度的差别)，因而在这样的一个样本处，在较远距离上，低光度天体的数量是被过低估计的(under-represented)。作为一个职业天文学家(我不是….)，在作出你的结论之前，必须要说明Malmquist Bias的影响，最好能做出估计和改正。当然，改正是相当困难的。

虽然现在关于Malmquist Bias的讨论多见于星系的文章，但是其实最早，Malmquist Bias是对于恒星样本提出的。在那个时候，天文学家想要了解的一个问题就是在银河系中哪些恒星最普遍，也许你会说，这不很简单吗？观测所有的恒星，分类，计数，画个直方图，找出最多的。没错，但是也错到家了，我们知道，同样类型的恒星，距离越远看上去就越暗，所以对于本征光度就比较低的那类恒星在一定的距离之外就无法观测到了，如果你不考虑这点，你的样本中这类恒星的数量就是被过低估计的，因而就有可能得到本征亮的恒星比暗的要多的错误结论。在现有的理论下和对邻近星场的研究中，一般认为一类光度不大的红矮星(Red Dwarf)数量最为丰富，但是你走出户外，抬头看看天上的恒星，你看不到一颗红矮星。

相似的，对于星系观测，Malmquist Bias一样存在。比如说，在观测临近的星系团中，我们看得到各种各样的亮度不一，形态不一的星系，但是如果在较远距离处观测一个星系团，我们可能只能观测到其中比较亮的成员，而这些成员多为早型星系(或者说，cD星系和椭圆星系)，但是如果你说，临近星系团中成员数量比高红移处的多，或者说高红移处星系团中早型星系比例大，那么对不起，尽管数据是这样，你也已经掉进Malmquist Bias为你设置好的陷阱中去了。这也就是为什么我们对矮星系的研究只能限于临近的宇宙中，或者说，本星系群附近(Local Group)，而现在关于星系演化理论中的重要一点，就是解释矮星系的数量问题，这些星系在星系团中的数量是相对恒定的呢？还是在宇宙早期数量更多，而随着不断的并和过程逐渐消耗呢？两种看法都有一定的证据支持，但是由于我们在高红移出探测不到足够的矮星系，在Malmquist Bias的帮助下，宇宙成功的把最关键的证据隐藏在了遥远的地方(有点儿alibi的味道)

对于现在进行的大规模星系巡天，或者说红移巡天，一个很重要的工作就是得到星系在不同红移处的光度函数(非常非常不规范的说，就是单位体积间隔，单位光度间隔内星系数量的分布)，这对于确定星系演化，甚至是宇宙的演化都是有很重要的意义的。而在Malmquist Bias的影响下，越远距离处样本的平均光度就有越高的趋势(因为在远距离处置能观测到亮的星系)，这对光度函数的测定是有很大影响的。

对于Malmquist Bias的修正是十分困难的，前提是我们要知道光度函数的形式(有时还要考虑对不同类型的星系光度函数不同)，在假设光度函数具有高斯函数形式的前提下，如果能够得到一个体积限定样本的平均光度和光度的弥散度(这两个参数决定了高斯函数的形状)，可以通过一定的数学方法作出改正，但是实际情况是，在同一个巡天中想要确定一个体积限定，即对某个距离内完备的样本，而且有一定说服力的话，是很难的，也就是说通常光度弥散度的测量，也是受到Malmquist Bias的影响的。更不要说，如果真是的光度函数不是高斯函数，这样的方法就完全行不通了。

在高红移处的以星系演化为目的的研究中，或者说在观测宇宙学中，还有一类被称为第二类Malmquist Bias的选择效应(Teerikorpi 1997)（主要是在讨论logz vs M的Hubble Diagram的讨论中），这种效应主要与在流量限定的观测中，用于距离测定的标准烛光的光度函数其实在暗端有一个截断，如果说经典Malmquist Bias本质上是由用于距离测定的标准烛光的空间分布引起的(距离越大，提体积也越大)，那么第二类Malmquist则是受到观测的流量极限的影响的。第一类Malmquist Bias主要用于低红移的临近星系研究，而第二类Malmquist效应则多出现于高红移的研究(这里的红移高低是以研究宇宙演化为标准的)。如果在一个星系均匀分布的经典时空中，这两类Malmquist其实是联系在一起的(Sandage 1995)[这部分内容我理解的也不是很好…..见谅]。如果有兴趣，可以看这篇文章

Malmquist Bias的根本原因–对于固定立体角的巡天，研究的体积随距离增大–导致在三角视差的分析中也有一个类似的效应，叫做Lutz-Kelker Bias(Lutz&Kelker 1973)，这个效应会造成样本中视差估计的平均值高于其真实值。这个过高的估计转而会导致距离的低估，进而导致天体真实光度的低估。对于像依巴谷卫星，以及即将上天的GAIA卫星这样以视差测定为主要目的的巡天，这种效应的改正是很重要的。

参考资料：

• Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Malmquist_bias
• Astroprof’s Page: http://astroprofspage.com/archives/81
• Galaxies and the Universe: http://www.astr.ua.edu/keel/galaxies/systematics.html
• Binney . Chapter.2
• Astro-ph: http://arxiv.org/abs/astro-ph/9407082